Studentenonderzoek: Interne golven in afgesloten 3D containers

Project te verrichten op het Nederlands Instituut voor Onderzoek der Zee (NIOZ) te Texel (ca 6 maanden).
Begeleiding: LRM Maas en Th Gerkema (Fysische Oceanografie, NIOZ), en G. Sleijpen (Computational Science, UU).

In dit project wordt onderzoek aan interne zwaartekrachtsgolven, voorheen verricht in 2D containers, uitgebreid naar 3D. Interne golven in uniform-gelaagde media hebben de eigenschap dat ze, ten opzichte van de vertikaal, schuin door de vloeistof lopen, waarbij de hoek met de vertikaal uitsluitend bepaald wordt door de verhouding van hun frequentie en de stabiliteitsfrequentie (die samenhangt met de mate van gelaagdheid van de vloeistof). Als gevolg van deze dwingende relatie zullen dit soort golven bij reflectie aan een hellende bodem, ongeacht de locatie waar ze gegenereerd worden, focuseren. In 2D containers leidt dit, bij veelvoudige reflecties, tot het ontstaan van "interne golf aantrekkers" (Maas LRM& F.-P.A. Lam, 1995, J. Fluid Mech. 300, 1-41). Deze zijn in een lab.opstelling aangetroffen (Maas LRM , Benielli, D., Sommeria, J. & Lam, F.-P.A. 1997 Nature 388, 557-561), en worden door het NIOZ in het "veld" (het Faroe-Shetland kanaal) gezocht.

In 2D is een oplossing van de bewegingsvergelijkingen (Euler-vgln) op exacte wijze te construeren. In 3D niet. In 3D is de geometrie van de stralen waarlangs interne golven zich kunnen voortbewegen bestudeerd en blijken, onder zekere omstandigheden golf-aantrekkers te kunnen optreden (zie bijlage). Daarnaast zijn er echter situaties waarin deze stralen zullen "rondcirkelen", hetgeen te interpreteren is als het optreden van een soort "randgolven" (edge waves).

Projectbeschrijving

In het project zal de student pogen om in aanvulling op de geometrische constructies zoals hierboven besproken, in een eenvoudige 3D geometrie met hellende bodem (zoals bijv een paraboloide, of sferische schil), stationaire interne golf-patronen te bepalen. Dit gebeurt door de uit de gelineariseerde bewegingsvergelijking te destilleren Poincaré vergelijking (voor het storings-drukveld p)

p_xx+p_yy-p_zz=0, (1)

op te lossen onder de voorwaarde dat er geen beweging door de wand plaatsvindt (corresponderend met de eis dat de normaalafgeleide van de druk daar verdwijnt p_n=0). Indien de tijd het toelaat zullen effecten van rotatie (relevant in geofysische problemen) worden toegevoegd.

In aansluiting op het vorige aspect kan ook het tijdsafhankelijke 3D interne-golf probleem, met constante gelaagdheid, numeriek onderzocht worden voor een gesloten bassin (bijvoorbeeld omwentelingsparaboloide met vlakke bovenzijde). Het eenvoudigste geval ontstaat door een cirkelsymmetrische oplossing te veronderstellen ( $d/d\theta=0$, in cilindrische coordinaten), waardoor een stroomfunctie ingevoerd kan worden volgens $d\psi/dz=r u_r; d\psi/dr=-r u_z$(afgeleiden te lezen als partiele afg.). De randvoorwaarde, overal aan de begrenzing van het bassin, wordt dan $\psi=0.$ Rond een locatie kan een tijdsperiodieke forcering van psi worden voorgeschreven (deze moet uiteraard wel cirkelsymmetrisch zijn); de locatie werkt dan als bron voor interne golven.

Binnen deze opzet kan een werkwijze beproefd worden die eerder gebruikt is voor een 2D gesloten bassin: transformatie van de paraboloide naar een vlakke bodem. Vervolgens in de vertikaal een pseudo-spectrale methode gebruiken (Chebyshew-collocatie), en in de tijd en horizontale coordinaten eindige differenties.

De student zal zich op de hoogte stellen van elementaire interne golf oplossingen (zoals behandeld in LeBlond, PH and Mysak, LA, Waves in the Ocean, Elsevier 1978). Daarnaast is het nuttig kennis te nemen van de complementaire problematiek van Quantumchaos (Gutzwiller, M.C. Chaos in classical and quantum mechanics (Springer, New York, 1990). Dit is direct relevant voor interne golven in een bak met uniforme hoogte waar in de vertikaal (z) staande oplossingen van de vorm $p=\sum P^{(n)}(x,y) \cos n z$, leiden tot de Helmholtzvergelijking P⁽ⁿ⁾_xx+P⁽ⁿ⁾_yy+n²P⁽ⁿ⁾=0, wiens oplossing centraal staat in dit vakgebied. Zoals de naam al zegt vinden we hier in plaats van focuserend, juist divergerend (chaotisch) gedrag.

Te verrichten werkzaamheden

Gedurende 1 maand inlezen in literatuur, 2 maanden opzetten model, 2 maanden experimenteren met model, en gedurende 1 maand verslaglegging.