Layout,graphics and scripting by EyE

Notulen overleg M. Hochstenbach 17-10-2000

Aanwezigen

  • M. Hochstenbach
  • Gerben Wolterink
  • Arthur van Dam

Notulen

We wilden de volgende zaken van Michiel weten:
  1. Wat voegen pseudospectra toe aan de huidige wiskundige tools/technieken?
  2. Wat zijn gewenste routines in een door ons te ontwikkelen programma?
  3. Ideëen voor het verdere practicum.

Punt 1

Wat we al wisten geeft dit aan wat de verschuiving van eigenwaarden is bij een verstoring van de matrix of operator. Het spectrum van een operator hoeft niet alleen de eigenwaarden te omvatten! Bij een operator zijn er puntspectra, lijnspectra etc. te onderscheiden. Bij bepaalde operatoren kan het spectrum bijvoorbeeld een vlak beslaan.

Punt 2

Zoals we al vermoeden valt er weinig toe te voegen aan het programma van Trefethen. Op software-gebied zouden we eventueel wel in samenwerking met Jos van Dorsselaer de techniek met Jacobi-Davidson kunnen uitwerken. Dit is al (gedeeltelijk) door hem gedaan. Voor verdere taken zie punt 3.

Punt 3

Ten eerste zijn er op dit moment drie technieken die gebruikt worden voor het bepalen van het psa:
  • Jacobi-Davidson: bepaal op een rechthoekig rooster de kleinste singuliere waarde. Een contourplotter levert het psa op dit rooster.
  • M.b.v. Arnoldi iteraties de matrix op een lager dimensionale ruimte afbeelden. Dit is de techniek die Trefethen gebruikt en overal beschrijft.
  • path-traversal: neem een punt, bepaal bijbehorende epsilon-waarden van ps die dat punt snijdt. Bepaal met predictor-corrector methode een volgend punt op deze contour. Herhaal dit totdat je een gesloten curve hebt. Dit wordt in de praktijk weinig gebruikt. Waarom is niet helemaal duidelijk.
Een aantal ideëen voor het verdere project zijn:
  • Bovenstaande punten kunnen onderzocht worden. Punt 2 is echter al helemaal uitgezocht door Trefethen.
  • Mogelijke praktijktoepassingen kunnen we vinden bij Henk Dijkstra (fac. Natuurkunde). Dit gaat dan over grootschalige vloeistofstromingen. A.d.h.v. eigenwaarden (positie binnen of buiten eenheidscirkel) wordt instabiliteit opgezocht. Ook Bob Rink (fac. Wiskunde) doet hier iets mee.
  • Sleijpen heeft een Jacobi-Davidson programma geschreven in Matlab. Eventueel kan hier een extra tool bijgeschreven worden die psa bepaald. Let wel op dat dit niet hetzelfde wordt als Trefethen al gedaan heeft.
  • Schatten van psa a.d.h.v. conditiegetal van eigenwaarden. Dit is echter nog maar heel klein, onuitgewerkt idee.