Differentiaalvergelijkingen

Paul Zegeling
In dit eerstejaars prakticum wordt gekeken naar methoden om differentiaalvergelijkingen op te lossen met behulp van een computer. Er wordt veel aandacht geschonken aan de snelheid en de nauwkeurigheid van de computerprogramma's.

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen spelen een grote rol in de fysica. Bij Computational Science komt men daarom veel differentiaalvergelijkingen tegen :

Oplosmethoden

Er wordt gewerkt met de Euler-Forward methode, Midpuntmethode en de methode van Runge-Kutta. Deze methoden verschillen van elkaar in nauwkeurigheid, snelheid en programmeerwerk. Zo levert 10 keer zoveel rekenwerk bij Euler-Forward een 10 keer zo nauwkeurig antwoord (1e orde), maar bij de Midpuntmethode een 100 keer zo nauwkeurig antwoord (2e orde).

Toepassing

Bij het prakticum wordt o.a. een slinger gesimuleerd.

Een slinger heeft een uitwijking ("hoek") en een snelheid ("hoeksnelheid"). De simulatie van de slinger wordt uitgevoerd door iedere tijdstap een differentiaalvergelijking los te laten op de oude waarden van de hoek en de hoeksnelheid.

In een zgn. "faseplaatje" kan het gedrag van een slinger gevolgd worden. Wanneer de hoek maximaal is (maximale uitwijking), is de hoeksnelheid nul en wanneer de hoek nul is (evenwichtsstand), is de hoeksnelheid maximaal. Als de slinger niet te hard slingert, lijkt het faseplaatje op een cirkel. En als er geen wrijving is, zal de slinger in het faseplaatje steeds dezelfde gesloten curve volgen.

Euler-Forward

Door een faseplaatje te maken bij de simulatie van een slinger met de Euler-Forward methode, kan de nauwkeurigheid van deze methode worden bekeken. In het volgende faseplaatje is te zien, dat Euler-Forward de slinger steeds harder laat slingeren. Niet zo'n nauwkeurige methode dus.

Midpuntmethode

Het faseplaatje van de midpuntmethode laat zien dat deze methode veel nauwkeuriger is. In ieder geval gaat de slinger niet steeds harder of zachter slingeren.