Wiskundige Methoden

Wiskundige Methoden 2009

Rooster

Het college voor WISN202 is op woensdag van 15:15 tot 17:00 en vindt plaats in het zaal 272 van het Buys Ballot-laboratorium. Het werkcollege vindt op Vrijdag 13:15-17:00 plaats.
Het eerste deeltentamen findt op vrijdag 17/4 plaats, van 9.00 tot 12.00 uur in de grote zaal van het Aardwetenschapgebouw. Resulaten van het eerste deeltentamen.
Het eindtentamen findt op vrijdag 26/6 van 9.00 tot 12:00 in MIN 208 plaats.
Eindcijfers.

Docenten

De docent van het vak is André Henriques en de studentassistent is Elma Carvajal Gallardo (e.n.carvajalgallardo⊗students.uu.nl).

Het dictaat

is beschikbaar in het studiecentrum van het Minaertgebouw.

De behandelde stof

week Behandelde stof Werkcollege opgaven
6 Bladzijden 1-5 van het dictaat. Opgaven 1, 2, 3 op bladzijde 61.
Extra opgaven A2, A3.
7 Bladzijden 6-14 van het dictaat.
R = limsup(\sqrt[n]{|a_n|})-1		 Opgaven 4, 5 op bladzijde 61.
Extra opgaven B1, B2, B3.
8 Bladzijden 15-21 van het dictaat.
De Hilbert ruimte L2(R).		 Opgaven 6, 7, 8 op bladzijde 62.
Extra opgaven C1, C2, C3.
9 Bladzijden 22-28 van het dictaat.
De Schrödinger operator.		 Opgaven 9, 11, 12 op bladzijde 62.
Extra opgaven D1, D2, D3.
10 Bladzijden 29-34 van het dictaat.
De Hermite operator.		 Opgaven 10, 13 op bladzijde 64.
Extra opgaven E1, E2.
11 Hilbert ruimtes.
Bladzijden 1-2, 41-44, 49.		 Opgaven 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21.
Extra opgaven F1, F2, F3.
13 Reeksontwikkeling naar
eigenfuncties.		 Opgaven 25, 26, 27.
14 Basis van een Hilbert ruimte.
Bladzijden 52-60 van het dictaat.		 Opgaven 34, 35, 36, 37, 38, 39.
Extra opgaven G1, G2, G3.
15 Bessel Functies
17 Complexe functies, de
Cauchy-Riemann vergelijkingen		 Opgaven 1, 2, 3, 4, 5 op bld. 141.
Extra opgaven H1), H2), H3).
19 Lijnintegralen Opgaven 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14, 15 op bld. 142. Extra Opg. I1
20 De Stelling van Cauchy,
tot en met blz 101 van het dictaat.		 Gebruik Stelling 10.7 voor
opgaven 16, 17 (uitgebreide versie).
Extra Opgaven J1, J2, J3.
21 De residuen stelling.
Geen werkcollege
22 Machtreeksontwikkelingen en
Laurentreeksontwikkelingen.		 Opgaven 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 26.
23 Toepassingen van
de Residuenstelling.		 Opgaven 27, 28, 29, 30, 31
(uigebreide versies).
24
Geen hoorcollege
 Opgaven 32, 33, 34, 35, 36.
25 Toepassingen van
de Residuenstelling.		 Voorbereiding voor het tentamen:
Alle opgaven van het tweede deel
van het dictaat.
Extra opgaven:
J1) Prove that the function 1/(z+1) has a primitive on the domain {z: |z|<1 }.
Prove that the function 1/(z+1) does not have a primitive on the domain {z: |z|>1 }.

J2) Write down a connected domain U of the complex plane such that the function 1/z has a primitive on U,
but such that the functions 1/(z+1) and 1/(z-1) do not have a primitive on U.

J3) Prove that the loop \gamma: [0,4\pi] --> \C-{0}, \gamma(t):=e^{it}(3+cos(t/2)) is not homotopic to a constant loop.
Make a drawing of that loop.

I1) Verify that the image of the line {z | Re(z)=1} under the map z \mapsto z^{-1} is a circle centered around 1/2.

H1) Check that the following functions satisfy the Cauchy-Riemann equations: e^z, z^3, 1/z, 1/z^2.

H2) Write down a continuous function f : \C-{0} \to \R such that lim_{h\to 0, h > 0} f(h) and lim_{h\to 0, h < 0} f(h) exist, but are different from each other.

H3) Bewijs de Stelingen 9.2 en 9.4 (blz 89 & 90 van het dictaat).

G1) Consider the function f:[-pi,pi] \to \R given by f(x):= 1 if x \in [-1,1] and f(x)=0 otherwise. Extend f to a 2\pi periodic function F:\R\to \R.
Determine the Fourrier expansion of F in therms of the functions cos(nx) and sin(nx).

G2) Extend f:[\pi,\pi]\to \R, f(x):=|x| to a 2\pi periodic function.
Determine the Fourrier expansion of f in terms of the functions e^{inx}.

G3) Determine the Fourrier expansion of |cos(x)| in terms of the functions cos(nx) and sin(nx), and then also in terms of the functions e^{inx}.

F1) In the Hilbert space L^2([0,1]), compute the angle between the vectors f(x)=1 and g(x)=x.

F2) Prove that an n by n matrix A defines a self-adjoint operator (= Hermetese afbeelding) if and only if A_{i,j} = \bar A_{j,i}.

F3) Prove that the two operators f(x) \mapsto i f '(x) and f \mapsto x f(x) are a self-adjoint on the Hilbert space L^2(R).

E1) Read section 4.3 of the dictaat. Reproduce by yourself (without looking at the dictaat) the two formulas at the top of page 36, starting from the differential equation (30) on page 34.

E2) Compute the 6-th Hermite polynomial.
[Hint: H_6(x) = 64 x^6 + 480 x^4 + ??? x^2 + ??? ]

D1) Read and work out example number 5 of the dictaat, on pages 25-27.

D2) Wich of the following operators are linear?
f(x) \mapsto f^2(x); f(x) \mapsto 2f(x); f(x) \mapsto f(x)+1; f(x) \mapsto f(x^2); f(x) \mapsto f(2x); f(x) \mapsto f(x+1);
f(x) \mapsto e^x f '(x) +f(x); f(x) \mapsto f '(|x|); f(x) \mapsto |f '(x)|;

D3) A function f is called even if f(x)=f(-x).
Which of the above operators map even functions to even functions?

C1) What is the convergence radius of the power series \sum_{n\ge 0} \bimonial{r}{n} z^n?
[Hint: this is worked out on page 13/14 of the dictaat]

C2) Prove Lemma 3.4 on page 22 of the dictaat.

C3) Write down an example of a linear operator whose spectrum is the set of prime numbers.
[Hint: try a diagonal matrix]

B1) Compute the power series expansion of 1/(a+bz+cz^2) until the coefficient of z^4.

B2) Let F(n) denote the n-th Fibonacci number. F(0)=1, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2). Let f(z) := \sum_{n=0}^\infty F(n) z^n. Find a closed formula for f(z).
[Hint: find a linear relationship beween f(z), zf(z), and z^2f(z).]
Compute the raduis of convergence of f(z).
[Hint: F(n) ≈ a*b^n; find b]

B3) Find the first 10 terms of the power series of the function f that is a solution of the following differential equation: f' = zf^2, f(0)=1.
If you know how to solve this differential equation by other means, then you can compare your power series with the exact solution.
[Hint: the exact solution is 1/(1-x^2/2)]

A2) Same question with the polynomial q(x):=\sum_{n=0}^{1000} (-1)^n x^{2n},
[Answer: it's the convergence radius]

A3) Suppose that the power series f(x) = sum_{n=1}^\infty a_n z^n has radius of convergence 1. Show that the following combination is impossible:
- The series for f(1) is absolutely convergent.
- The series for f(-1) is divergent.

Deze opgaven hebben wij niet gedaan:

A1) Consider the polynomial p(x):=\sum_{n=0}^{1000} 1/n! x^n. In which interval is p(x) a good approximation of e^x?
[Hint: look at where 1/1000! x^1000 takes the value 1. To solve the equation, you use Stirling's formula n! ≈ (n/e)^n, and the fact that log(1000) ≈ 7.]


 
 		 Deel 1  Deel 2  Eindcijfer 
0362417
3029298
3069338
3116395
3117782
3121631
3148017
3220818
3221261
3221296
3221318
3221407
3227197
3232131
3233685
3245756
3251500
3275272
3275299
3289974  
 7
7
7
7.5
1
7.5
9
7
10
7
4
6
7.5
7
8
6
7
7.5
6.5
7.5
 9
8.5
5
4
7.5
7.5
4
7
9.5
7.5
7.5
6
9.5
6.5
9
8
8
8
6
6
 8
8
6
6
4.5
7.5
6.5
7
10
7.5
6
6
8.5
7
8.5
7
7.5
8
6.5
7
























.