wiskonst.nl

In de eerste propositie construeerde van Ceulen het punt E (zie plaatje hieronder), dat volgens hem op het midden ligt van de boog AB, en berekende vervolgens de lengte van het lijnstuk EB in termen van het bekende lijnstuk AB. Maar hij bewees niet in zijn propositie dat het geconstrueerde punt E ook daadwerkelijk op het midden ligt van de boog AB. Aangezien ik niet weet hoe van Ceulen dit zou hebben bewezen zal ik hieronder een modern bewijs geven dat laat zien dat het geconstrueerde punt E ook daadwerkelijk op het midden van de boog AB ligt.

Gegeven:

• Een cirkel met middelpunt D en straal r
• De cirkel heeft diameter BC = 2r
• AB is een lijnstuk met uiteinden op de cirkel


Constructie van het punt E:

• X is het snijpunt van de cirkel met middelpunt C en straal AC met de diameter BC
• S is het midden van XB
• E is het snijpunt van de cirkel met de loodlijn door S op XB


Bewering:

E ligt op het midden van de boog AB


Bewijs:

In het bewijs van de eerste propositie bereikt van Ceulen het volgende resultaat voor de lengte van het geconstrueerde lijnstuk EB (in moderne notatie):

EB = √(2r2 - r AC)

Dit resultaat kunnen we dan gebruiken om verder te rekenen.
Aangezien driehoek EBC een rechthoekige driehoek is kunnen we EC bepalen met de stelling van pythagoras, namelijk:

EC2 = BC2 - EB2
Dus EC = √(4r2 - (2r2 - r AC)) = √(2r2 + r AC)

Nu bepalen we de sinus en cosinus van hoek ECB (vanaf nu in het kort α)

Sin(α) = EB / BC = EB / (2r)
Cos(α) = EC / BC = EC / (2r)

Vervolgens kunnen we Sin(2α) berekenen met behulp van de relatie:

Sin(2α) = 2Sin(α)Cos(α)

Toegepast op ons probleem geeft dit:

Sin(2α) = 2Sin(α)Cos(α) = 2(EBxEC) / (4r2) = {√[(2r)2 - (AC)2]} / (2r) = {√[(BC)2 - (AC)2]} / (2r)

Aangezien driehoek ABC ook een rechthoekige driehoek geldt dat (BC)2 - (AC)2 = (AB)2 dus:

Sin(2α) = 2Sin(α)Cos(α) = [√(AB2)] / (2r) = AB / (2r)

Als we nu de sinus van hoek ACB (vanaf nu in het kort β) berekenen dan zien we:

Sin(β) = AB / BC = AB / (2r) = Sin(2&aplha;)

Verder hebben we dat hoek β altijd tussen de 0 en 90 graden ligt dus kunnen we concluderen:

β = 2α

Gelijke hoeken geven gelijke bogen dus zien we:

Boog AB = 2 x Boog EB

Dus E ligt op het midden van boog AB