In het zevende hoofdstuk laat Van Ceulen aan de hand van een aantal voorbeelden zien hoe hij met de hand wortels trekt. Daarna gebruikt hij deze methode om een tabel te maken voor uitkomsten van de sinus van bepaalde hoeken. Dit is wiskundig minder interessant, dus ik zal me richten op het gedeelte dat het worteltrekken behandelt.
Methode
Aangezien niet iedereen bekend zal zijn met de methode om met de hand wortels te trekken, zal ik eerst even illustreren hoe dit precies werkt. Daarna zal ik laten zien hoe Van Ceulen deze methode in de praktijk brengt en hoe hij zijn deelresultaten noteert. Stel dat je de wortel wilt berekenen uit 3. Een rekenmachine zal ons 1,7320508... als antwoord geven. Nu gaan we proberen dit met de hand uit te rekenen. Daarvoor gebruiken we het volgende stappenplan:
- Verdeel de decimalen van het getal waar je de wortel uit wilt trekken in groepjes van 2, beginnend bij de decimale punt en werkend naar links. Voeg indien nodig nullen aan het eind toe.
- Bepaal het grootste kwadraat dat nog net in het getal dat helemaal links staat past. De wortel van dit kwadraat wordt de eerste decimaal van onze oplossing.
- Zet dit kwadraat onder het het getal dat helemaal links staat en trek het hiervan af.
- Zet naast de rest het volgende groepje van 2 getallen (dus het groepje rechts van het groepje waar we net mee gewerkt hebben).
- Vermenigvuldig het tot nu toe verkregen deelresultaat met 20 (bijv. 24 wordt 480). Tel hier vervolgens een variabele x bij op en vermenigvuldig het resultaat ook met x, zo, dat het antwoord nog net in het getal past dat we bij stap 4 gevonden hebben (bijv. 484 * 4 = 1936 past nog net in 1987). Het getal x is de volgende decimaal van onze oplossing.
- Zet dit product onder de het getal dat we bij stap 4 gevonden hebben en trek het ervan af.
- Ga terug naar stap 4 en herhaal tot de gewenste precisie van het eindantwoord bereikt is.
Aangezien dit waarschijnlijk nogal ingewikkeld overkomt, zal ik laten zien hoe de methode voor de wortel van 3 in zijn werk gaat:
Voor wortels van getallen met meerdere decimalen voor of na de komma werkt dezelfde methode, alleen heb je dan ook groepjes van 2 getallen ongelijk aan nul.
De notatie van Van Ceulen
Nu duidelijk is geworden hoe worteltrekken met de hand precies werkt, kunnen we gaan kijken naar de notatie die Van Ceulen gebruikt in zijn boek, en dan in het bijzonder in hoofdstuk 7. Eerst bekijken we Van Ceulen's uitwerking van de wortel uit 3:
De notatie zit volgens ons als volgt in elkaar: In het midden kun je een aantal decimalen van het antwoord herkennen (met de zwarte verticale streepjes ertussen). Daar boven staat het getal waar we de wortel uit willen trekken, in dit geval dus 3 (met toegevoegde nullen). Onder het resultaat staan alle verdubbelde deelresultaten (schuin genoteerd), dus resp. 12,34,346,3464,34640,346410,3464100,3464100,34641016. Dit klopt precies met de getallen die je zou krijgen als je bovenstaande methode toepast. De getallen boven het getal waar de wortel uit getrokken moet worden getrokken lijken iets minder netjes neergezet. Hier staan de resten die je krijgt na stap 5. Er staat echter een 9 tussen die wij niet hebben kunnen verklaren, en ook gebruikt hij de 2 die daarnaast staat twee maal. Dit vonden wij nogal vreemd, aangezien de getallen onder het resultaat zo duidelijk geordend zijn en netjes onder elkaar geschreven. Bij het volgende voorbeeld zien we hetzelfde verschijnsel:
Hier berekent Van Ceulen de wortel uit 2 - (het resultaat van wortel 3 hierboven). Wederom staan onder de oplossing alle verdubbelde deelresultaten. Ook hier zien we bovenin weer problemen. Na een aantal keer de stappen van de methode doorlopen te hebben komen we op de gemarkeerde deelresultaten (3944,83831,100956,77811519). De getallen links lijken echter niet veel met de berekening te maken te hebben. Het zou kunnen dat Van Ceulen een andere methode gebruikte om met de hand zijn wortels uit te rekenen, maar dit lijkt niet zo waarschijnlijk aangezien de getallen onder het resultaat precies kloppen met wat wij zouden krijgen. We vermoeden dus dat Van Ceulen een net iets andere versie van de hierboven beschreven methode gebruikte, die hem soms net andere resten opleverde.
