Derde deel des derden boucx vande vier afcomsten als vergaring, aftrecking, menichvulding, en
deeling der lichamen
Voorstel 9: Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke lichamen: Haer
somme te vinden in een haers ghelijcke lichaem.
De opgave is, twee gelijkvormige lichamen A en B bij elkaar "op te tellen". Dat wil zeggen:
een ander gelijkvormig lichaam G te construeren dat voldoet aan: Inhoud(G) = Inhoud(A) + Inhoud(B).
Cruciaal hierbij is dat de lichamen gelijkvormig zijn, en wel hierom. De inhoud van het lichaam
A is evenredig met de derdemacht van de lengte van een van de zijden, zeg C:
Inhoud(A) = k × C³.
Hierbij is k een of andere constante van evenredigheid, die echter
voor alle gelijkvormige lichamen hetzelfde is. Als D de met C overeenkomende zijde in het lichaam
B is, geldt dus:
Inhoud(B) = k × D³.
Voor het "somlichaam" G, waarin de
met C (en D) overeenkomende zijde F heet, moet daarom gelden:
Inhoud(G) = k × F³ = k × (C³ + D³).
De opgave is daarom een lijnstuk F te construeren dat voldoet aan:
(*) F = ³√(C³ + D³),
en vervolgens een lichaam te tekenen dat F als ribbe heeft en gelijkvormig is met A (en B).
(Hoe men dit laatste doet, werd door Stevin al behandeld in
propositie 17 van boek 1.)
Stevins constructie van de ribbe F gaat alsvolgt:
- Zoek de vierde evenredige van C en D.
Dit is een lijnstuk E dat voldoet aan: C : D = D : E1 = E1 : E.
Er geldt: E = E1 × D/C =
( D × D/C )
× D/C = D³/C².
- Zoek nu de twee middelevenredigen van C en (C + E).
Dat wil zeggen: zoek twee lijnstukken F en F1 zodat
{C, F, F1, C + D³/C²} een meetkundige rij is.
De klassieke werkwijze wordt door Stevin behandeld in
propositie 4 van boek 4.
De moderne aanpak bestaat uit het oplossen van de vergelijking:
Cx³ = C + D³/C².
Er volgt eenvoudig: x = ³√(1 + D³/C³).
De middelevenredigen zijn nu: F = Cx en F1 = Cx².
- Het lijnstuk F is de gezochte ribbe. Voor de lengte geldt inderdaad:
F = C × ³√(1 + D³/C³)
= ³√(C³ + D³).
Voor iemand uit de eenentwintigste eeuw lijkt dit onnodig ingewikkeld.
Men kan de lengte van F immers ook vinden door de lengte van C en D in te
vullen in (*).
Daarvoor moet men wel de derdemachtswortel uitrekenen, wat in de zeventiende eeuw
(zonder rekenmachine) veel lastiger was dan nu. Toch noemt Stevin deze mogelijkheid
als alternatieve methode: de "ander wercking deur ghetalen, na de vondt van
sijn Vorstelicke Ghenade".
Deze methode voldoet niet aan de regels van de klassieke (Griekse) meetkunde,
omdat het lijnstuk F niet geconstrueerd wordt, maar opgemeten met een liniaal.
Waarschijnlijk behandelt Stevin daarom eerst de meetkundige methode, die wel
volgens de regels verloopt.
Voorstel 10: Wesende ghegheven een lichaem, met sijns ghelijcke
aftreckelick lichaem: De rest in een derghelijcke lichaem te vinden.
Deze propositie verloopt geheel analoog aan de vorige.
Bij twee gelijkvormige lichamen A en B vinden we nu een gelijkvormig lichaam
G dat voldoet aan: Inhoud(G) = Inhoud(A) – Inhoud(B).
Als C en D overeenkomende ribben zijn in de lichamen A, respectievelijk B, volgt nu dat
de bijbehorende ribbe F in het lichaam G moet voldoen aan:
F = ³√(C³ – D³). Stevins methode en die van de Prins zijn
geheel analoog aan de vorige propositie.
Voorstel 11: Wesende ghegheven een menichvuldelick lichaem, ende
een ghetal menichvulder: Den uytbreng te vinden in een lichaem ghelijck mettet ghegheven.
De opgave is hier, bij een gegeven lichaam A (met daarin een ribbe B) en een gegeven getal
n een gelijkvormig lichaam E te construeren waarvoor geldt:
Inhoud(E) = n × Inhoud(A). (Stevin kiest direct n = 8, omdat dit een
mooie oplossing geeft.)
Evenals in propositie 9 kunnen we gebruiken
dat de lichamen gelijkvormig zijn. Er geldt:
Inhoud(A) = k × B³,
en, als D de met B overeenkomende ribbe in E is:
Inhoud(E) = k × D³ = k × n × B³,
zodat moet gelden:
D = B × ³√n.
Het tekenen van een lichaam op de ribbe D dat gelijkvormig is met A is vervolgens
weer een toepassing van propositie 17 van boek 1.
Stevin construeert het lijnstuk D als volgt:
- Construeer eerst een lijnstuk C waarvoor geldt: C = n × B.
- Zoek nu de twee middelevenredigen van B en C, dus bepaal de lijnstukken D en D1
zodat {B, D, D1, nB} een meetkundige rij is.
Zoals gezegd moeten we daarvoor de vergelijking Bx³ = nB oplossen.
De oplossing is x = ³√n, en de middelevenredigen zijn nu D = Bx
en D1 = Bx².
- De eerste middelevenredige, D, is de gezochte ribbe. Inderdaad geldt: D = B ³√n.
Voorstel 12: Wesende ghegheven een deelelick lichaem, ende een
derghelijck lichaem deelder: Den mael te vinden.
Ditmaal zoeken we bij twee gelijkvormige lichamen A en C (met daarin de overeenkomende
ribben B, respectievelijk D) het quotiënt, dat wil zeggen het getal n
waarvoor geldt: Inhoud(A) = n × Inhoud(C).
In Tbegheerde staan twee drukfouten: "Wy moeten den mael vinden, dat is hoe
menichmael een lichaem als A, begrepen is int lichaem E" moet zijn "Wy moeten den
mael vinden, dat is hoe menichmael een lichaem als C, begrepen is int lichaem
A".
Omdat geldt, analoog aan de vorige propositie:
Inhoud(A) = k × B³,
en:
Inhoud(C) = k × D³,
volgt er eenvoudig dat: n = B³/D³.
Stevins constructie gaat eveneens analoog aan het voorafgaande:
- Zoek de vierde evenredige van B en D, dat wil zeggen het lijnstuk E waarvoor geldt:
B : D = D : E1 = E1 : E.
Dit lijnstuk heeft lengte: E = E1 × D/B =
( D × D/B ) × D/B =
D³/B².
- Neem nu het quotiënt van B en E:
B/E = B × B²/D³ =
B³/D³. Dit is het gevraagde getal n.
N.B. In Twerck schrijft Stevin: "Ick vinde der twee linien D, B, een vierde
evenrednighe". Dit is verwarrend, want uit het vervolg blijkt dat hij eigenlijk
de vierde evenredige van B en D bedoelt, en niet andersom.
