- Hij bepaalt eerst de vierde evenredige van EF en AB. Dit is het lijnstuk K waarvoor:
EF : AB = AB : K1 = K1 : K.
Er geldt: K = K1 × AB/EF
= ( AB × AB/EF ) × AB/EF
= AB³/EF².
- Vervolgens bepaalt hij de vierde evenredige van EF, K en I. De vierde evenredige
van drie lijnstukken is gedefinieerd als het lijnstuk L waarvoor geldt:
EF : K = I : L.
- Deze L is het gezochte lijnstuk. Er geldt namelijk:
L = I × K/EF = I × AB³/EF³.
Evenals in het derde boek geeft Stevin ook een
niet-meetkundige methode voor het vinden van de lengte van L, die hij zoals steeds
toeschrijft aan Prins Maurits.
Voorstel 10: Wesende ghegheven twee rechte linien, ende
een lichaem: Een derghelijcke lichaem te vinden in sulcken reden tottet ghegheven,
als d'een lini tot d'ander.
Deze propositie is een natuurlijke voortzetting van de vorige, want hierin wordt precies
het omgekeerde gevraagd: bij twee gegeven lijnstukken A en B en een gegeven lichaam CDEF zoeken
we een gelijkvormig lichaam HIKL, zodat geldt:
Inhoud(HIKL) : Inhoud(CDEF) = A : B.
Net als voorheen volgt uit de gelijkvormigheid van CDEF en HIKL dat de inhouden zich
verhouden als:
Inhoud(HIKL) : Inhoud(CDEF) = HI³ : CD³,
waarbij CD en HI overeenkomenden ribben zijn in de twee lichamen.
Voor de te construeren ribbe HI moet daarom gelden:
HI³ : CD³ = A : B,
of te wel:
HI = CD × ³√(A/B).
En als we de ribbe HI eenmaal hebben, wordt de rest van het lichaam HIKL getekend
door propositie 17 van boek 1 toe te passen.
Stevins constructie van het lijnstuk HI verloopt als volgt:
- Hij bepaalt eerst de twee middelevenredigen van B en A. Dit zijn de lijnstukken G
en G1 zodat {B, G, G1, A} een meetkundige rij is.
Zoals eerder gezegd vinden we deze door eerst Bx³ = A op te lossen.
Er volgt: x = ³√(A/B).
De middelevenredigen zijn nu: G = Bx en G1 = Bx².
- Vervolgens bepaalt hij de vierde evenredige van de drie lijnstukken B, G en CD.
Dit is het lijnstuk HI waarvoor geldt:
B : G = CD : HI.
Dit is inderdaad het gezochte lijnstuk, want er volgt:
HI = CD × G/B = CD × Bx/B
= CD × ³√(A/B).
Voorstel 11: Wesende ghegheven twee ghelijcke lichamen:
Haer derghelijcke derde everedenich te vinden.
De derde evenredige van twee lijnstukken A en B is het lijnstuk C waarvoor geldt:
A : B = B : C.
Analoog wil Stevin in deze propositie bij twee gegeven gelijkvormige lichamen ABCD
en EFGH een derde gelijkvormig lichaam IKLM construeren waarvoor geldt:
Inhoud(ABCD) : Inhoud(EFGH) = Inhoud(EFGH) : Inhoud(IKLM).
Wederom dankzij de 17e propositie van boek 1
is het voldoende om één ribbe IK van het lichaam te bepalen.
En evenals bij de voorgaande proposities volgt uit de gelijkvormigheid van de lichamen:
Inhoud(ABCD) : Inhoud(EFGH) = AB³ : EF³,
en:
Inhoud(EFGH) : Inhoud(IKLM) = EF³ : IK³,
waarbij AB, EF en IK overeenkomende ribben zijn in de drie lichamen.
Voor de te construeren ribbe IK geldt daarom:
AB : EF = EF : IK.
Met andere woorden: IK is de derde evenredige van de lijnstukken AB en EF. Stevin heeft
in de eerste propositie van dit boek al beschreven hoe men die kan construeren.
Hij maakt daar gebruik van een klassieke methode, die door Euclides is beschreven in
propositie 11 van boek 6 van de Elementen:
[Euclid 1956, II, p. 214]
To two given straight lines to find a third proportional.
