wiskonst.nl

In het boek Vanden circkel wordt een constructie opgebouwd om het getal pi zeer nauwkeurig te benaderen. Van Ceulen begint in zijn boek met het opsommen van een aantal aannamen en definities. Wij hebben er een aantal uitgelicht die volgens ons wat verduidelijking nodig hadden. Deze zijn te vinden onder het kopje aannamen (zie de links onderaan deze pagina). Vervolgens geeft Van Ceulen een constructie-methode om gegeven een zijde van een regelmatige n-hoek in een cirkel de lengte van de zijde van de regelmatige 2n-hoek te berekenen. Hij kan dus zo bijvoorbeeld uit de lengte van de zijde van de regelmatige zeshoek de lengte van de zijde van de twaalfhoek vinden. Deze constructie hebben we, verduidelijkt met plaatjes, onder het kopje Eerste propositie gezet. Uit het verhaal van Van Ceulen is echter niet geheel duidelijk dat deze constructie het gewenste resultaat oplevert. Daarom staat onder het kopje Bewijs van constructie een door ons gemaakt bewijs dat deze constructie inderdaad correct is.

Hierna gaat Van Ceulen verder met het berekenen van de zijden van de regelmatige 3-,4-,5- en 15-hoek. Als hij deze zijden heeft gevonden kan hij immmers zijn methode toepassen en bijvoorbeeld uit de lengte van de zijde van de 3-hoek die van de 6-hoek, 12-hoek, 24-hoek, enz. berekenen. Onder de kopjes lengte van zijde 3/4/5/15-hoek staan de berekeningen van deze zijden. Het was voor ons onduidelijk hoe Van Ceulen de lengte van de zijde van de vijfhoek heeft gevonden, dus hebben we dit zelf nagezocht en hier gegeven.

De methode van Van Ceulen geeft voor de lengtes van de zijden een uitdrukking met veel wortels. Onder het kopje worteltrekken staat een uitleg om met de hand wortel te trekken en een vergelijking tussen de manier van noteren zoals nu meestal gebeurt en de manier van Van Ceulen. De wijze van noteren van Van Ceulen is compacter op te schrijven, maar zijn notatie heeft als nadeel dat zijn tussenstappen lastiger zijn te herleiden.

Onder het kopje oppervlakte staat een eenvoudige manier om de oppervlakte binnen een regelmatige n-hoek te vinden als de zijde van deze n-hoek bekend is. Aangezien Van Ceulen in de vorige hoofdstukken juist de methode geeft om die te berekenen is dit een haast triviaal gevolg.

Zijn volgende stap is om de zijde van de omgeschreven n-hoek te berekenen (in tegenstelling tot de vorige hoofdstukken waar hij alleen met ingeschreven n-hoeken werkte). Onder het kopje omgeschreven n-hoek hebben we de formule die Van Ceulen min of meer uit de lucht laat vallen uitgelegd.

Het laatste onderdeel is het stukje berekening pi. Daarin berekent Van Ceulen voor zeer grote n, de zijde van de regelmatige ingeschreven en omgeschreven n-hoek. Daarmee heeft hij dan een ondergrens en een bovengrens gevonden voor pi. Met zijn methode kun je n zo groot maken als je wilt, dus kun je pi willekeurig dicht benaderen.